运算放大积分器模拟数学积分，数学积分本质上是一个求和过程，积分的值是函数曲线下覆盖的总面积。运算放大微分器模拟数学微分，数学微分是确定函数瞬时变化率的过程。为了展示基本原理，本节学习的积分器和微分器是理想的。为了阻止饱和，实际的积分器常常有一个额外的电阻或其他电路在反馈电容器的并联电路中。为了减小高频噪声实际的微分器可能包含一个串联电阻。
学完本节后,你应该掌握以下内容:
- 理解积分器和微分器的工作原理
- 判别积分器
- 讨论电容器如何充电
- 确定积分器输出变化率
- 判别微分器
- 确定微分器的输出电压
8.3.1 运算放大器积分器
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图8-24~~~理想运放积分器
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一个理想积分器如图8-24所示。注意，反馈元件是一个电容器，这个电容器与输电阻构成 RC 电路。
电容器如何充电 为了明白积分器是如何工作的，需要复习一下电容器的充电过程。回顾一下，电容器上的电量 Q 与充电电流($I_C$)和时间($t$)成正比。 $$ Q=I_Ct $$ 同样地，考虑到电压，电容器上的电量为 $$ Q=CV_C $$ 从这两个关系式可以得到，电容器电压可以表示成 $$ V_C=(\frac{I_C}{C})t $$ 这个表达式是一条直线的方程，直线开始于 0 并且斜率为 $I_C/C$。(从线性代数可知，直线的一般表达式为 $y=mx十b$。这里，$y=V_C$，$m=I_C/C$，x=t，并且b=0。)
我们知道，在简单 RC 网络上的电容电压是非线性的，是指数的。这是因为当电容充电时引起电压变化率的连续减小，充电电流是连续下降的。使用具有 RC 网络的运算放大器构成的积分器的关键之处是电容器的充电电流是恒定的，因此产生直线(线性)的电压而不是指数电压。现在我们看看为什么是这样的。
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图8-25~~~积分器中的电流
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在图8-25中，运算放大器的反相输人端虚地(0V)，所以 $R_i$ 两端的电压等于$V_{in}$。因此，输入电流为 $$ I_{in}=\frac{V_{in}}{R_i} $$ 电容器电压 因为$I_{in}$是恒定的，所以 $I_C$ 也是恒定的。常量 $I_C$ 线性地向电容器充电，在 C 上产生线性电压。电容器的正极通过运算放大器虚地维持在 0V，电容器的负极电压随着电容器充电从 0 开始线性减小，如图8-26所示。这个电压称为负斜坡，它是恒定正极性输入的结果。
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图8-26~~~由恒定充电电流在C上产生的线性斜坡电压
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输出电压 $V_{out}$ 与电容器负极电压相同。当常量正极性输入电压是阶跃形式或脉冲形式时(脉冲在高电平处幅度是常量)，输出斜坡在负方向一直减小，直到运算放大器在最大负电平处饱和为止，如图8-27所示。
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图8-27~~~恒定输入电压在积分器输出端产生斜坡
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输出变化率 你已经发现，电容器充电速率和输出斜坡斜率由比率 $I_C/C$ 决定。因为 $I_C=V_{in}/R_i$，所以积分器输出电压的变化率或斜率为 $$ \frac{△V_{out}}{△t}=-\frac{V_{in}}{R_iC}~~~(8-6) $$
你将会在第10章中看到，积分器在三角波发生器中特别有用。
8.3.2 运算放大器微分器
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图8-29~~~理想运放微分器
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理想微分器如图8-29所示。注意，电容器和电阻的位置与它们在积分器中的位置不同。现在，电容器是输入元件。微分器产生的输出与输入电压的变化成正比。尽管通常用小阻值电阻与电容器串联来限制增益，但是这并不影响基本的工作原理，这里的分析不考虑这个问题。
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图8-30~~~斜坡输入微分器
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为了弄清微分器是如何工作的，如图8-30所示，将正向斜坡电压加在输入端。这种情况下，$I_C=I_{in}$，因为反相输入端虚地，任何时候电容器上的电压都等于$V_{in}(V_C=V_{in})$。
从基本公式$V_C=(I_C/C)t$，有 $$ I_C=(V_C/t)C $$ 因为反相输人端的电流可以忽略，所以 $I_R=I_C$。因为电容器电压斜坡($V_C/t$)是常量，所以电流是常量。由于反馈电阻的一端总是0V(虚地)，所以输出电压同样是常量，并等于 $R_f$ 上的电压。 $$ V_{out}=I_RR_f=I_CR_f \\ V_{out}=-(\frac{V_C}{t})R_fC~~~(8-7) $$
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图8-31~~~输入端连续加入正向和负向斜坡(三角波)时的微分器输出
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如图8-31所示，当输人是正向斜坡时，输出是负值。当输出是负向斜坡时，输出是正值。在输人为正斜坡期间，具有恒定电流的输入源通过反馈电阻向电容器充电。在输人是负向斜坡时，由于电容器放电,恒定电流反向。
注意，在式(8-7)中，$V_C/t$ 是输入的斜率。如果斜率增加，$V_{out}$ 将负得更多。如果斜率减小，$V_{out}$ 将正得更多。所以输出电压与输入的负向斜率(变化率)成正比，这个比例常量是时间常量$R_fC$。